本物の論理的思考力を鍛えよう！(Part 2) 〜100枚のドア問題〜(第37回)
今回も
論理的思考力を鍛える練習をしましょう！
・論理的思考力とは何か
・鍛えるメリット
については、前回の記事を見てほしいです ↓
今回は、100枚のドア問題です！
100枚のドア問題 ↓
1. 初期状態
・あなたの目の前には、
閉じたドアが100枚並んでいます
・ドアには1〜100の番号が振られています
（それぞれをドア1からドア100とします）
2. 操作1〜100をする
・操作1：1の倍数のドアについて、
開いてるドアは閉じ、閉じているドアは開ける
・操作2：2の倍数のドアについて、
開いてるドアは閉じ、閉じているドアは開ける
・操作3：3の倍数のドアについて、
開いてるドアは閉じ、閉じているドアは開ける
、、、、、、
・操作n：nの倍数のドアについて、
開いてるドアは閉じ、閉じているドアは開ける
、、、、、、
・操作100：100の倍数のドアについて、
開いてるドアは閉じ、閉じているドアは開ける
と、操作を100回、繰り返します。
問：操作100まで終わったとき、
開いているドアは何枚？
（注意：開け閉めしないドアはそのままです）
1つ1つ、考えていきましょう
・まずは全ての番号は1の倍数なので、
・操作1が終わった後は全て開いています。
・操作2が終わった後、
奇数のドアは開いていて、
偶数のドアは閉じています。
、と考えていても難しくて解けません。
視点を変えて、ドアに注目してみます。
ドア1について
・操作1の後に開く
・操作2以降は無視されるから、
最終的に開いている
ドア2について
・操作1の後に開く
・操作2の後に閉じる
・操作3以降は無視されるから、
最終的に閉じている
ドア3について
・操作1の後に開く
（操作2では無視される）
・操作3の後に閉じる
・操作4以降は無視されるから、
最終的に閉じている
ドア4について
・操作1の後に開く
・操作2の後に閉じる
（操作3では無視される）
・操作4の後に開く
・操作5以降は無視されるから、
最終的に開いている
開け閉めが奇数回：最終的に開いている
開け閉めが偶数回：最終的に閉じている
と、なっているんですね。
じゃあ、開閉が奇数回になる数の特徴は？
・操作nでは、nの倍数のドアを開閉する
つまり、操作nとドアmに注目すると
nがmの約数の操作で開閉される
となっています。
よって、
・mの約数が奇数個：最終的に開いている
・mの約数が偶数個：最終的に閉じている
となります。
問題に戻りましょう。
操作100まで終わったときの
開いているドアの枚数
これを求めたかったんですよね。
約数が奇数個の整数が
1から100の間に何個あるか
これを求めればいいんです！
約数が奇数個の整数＝平方数ですので、
最終的に開いてるドアは
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
の10枚となります！
今回は1つ1つ考える上で
難しくなったらアプローチを変える
ことの重要さを学びました。
証明でも詰まったら別の方法を考えましょう！
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次回（第38回）：集合・論理をマスターして
模試の偏差値を6上げよう！ (Part 1) 〜任意と存在〜
〜あなたにバラ色のキャンパスライフを〜
